✨کمینه‌سازی محیط مستطیل با مساحت ثابت📐

📝صورت مسئله

یک مستطیل به مساحت ثابت رسم کنید که محیط آن کمترین مقدار ممکن را داشته باشد. 🤔

💡توضیح مسئله و اصطلاحات

این مسئله یک مثال کلاسیک در مبحث بهینه‌سازی ریاضی است. هدف ما پیدا کردن ابعادی برای مستطیل (طول و عرض) است که با ثابت نگه داشتن مساحت، مقدار محیط آن را حداقل کنیم. 🤓

• مستطیل: یک چهارضلعی که زوایای آن قائمه هستند. 📐
• مساحت مستطیل: حاصل ضرب طول و عرض آن (A = lw). 📏
• محیط مستطیل: مجموع طول تمام اضلاع آن (P = 2l + 2w). 🔄
• بهینه‌سازی: فرآیند یافتن بهترین راه حل برای یک مسئله با توجه به محدودیت‌های موجود. ✅

🚀روش اول: استفاده از جبر و معادلات

در این روش، از روابط جبری مساحت و محیط مستطیل استفاده می‌کنیم تا یک معادله‌ی کمینه‌سازی تشکیل دهیم. ✍️

1. فرض کنید طول مستطیل برابر با l و عرض آن برابر با w باشد. 📏
2. مساحت مستطیل ثابت است، پس: $$A=lw$$. 📐
3. محیط مستطیل برابر است با: $$P=2l+2w$$. 🔄
4. از معادله‌ی مساحت، می‌توانیم عرض را بر حسب طول بیان کنیم: $$w=\frac{A}{l}$$. 📏
5. این عبارت را در معادله‌ی محیط جایگذاری می‌کنیم: $$P=2l+\frac{2}{A}l$$. 🔄
6. برای کمینه‌سازی محیط، مشتق آن را نسبت به طول برابر با صفر قرار می‌دهیم: $$\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dl}}=0$$. 📈
7. با حل این معادله، به l = A می‌رسیم. 📏
8. با جایگذاری این مقدار در معادله‌ی عرض، داریم: w = A. 📐
9. بنابراین، مستطیلی که کمترین محیط را دارد، یک مربع است! 🎉

✨روش دوم: استفاده از نامساوی AM-GM

نامساوی میانگین حسابی - میانگین هندسی (AM-GM) ابزاری قدرتمند در بهینه‌سازی است. 🤩

1. محیط مستطیل: $$P=2l+2w$$. 🔄
2. با استفاده از نامساوی AM-GM: $$\frac{l}{+}\ge \sqrt{lw}$$. 📐
3. با توجه به اینکه مساحت ثابت است ($$A=lw$$): $$\frac{P}{2}\ge \sqrt{A}$$. 📏
4. بنابراین: $$P\ge 2\sqrt{A}$$. 🔄
5. حداقل مقدار محیط زمانی حاصل می‌شود که l = w، یعنی مستطیل یک مربع است. 🎉

💫روش سوم: استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال (بهینه‌سازی)

این روش شامل یافتن نقاط بحرانی تابع محیط با استفاده از مشتق‌گیری است. 🤓

1. محیط مستطیل: $$P=2l+2w$$. 🔄
2. مساحت ثابت: $$A=lw$$. 📐
3. عرض را بر حسب طول بیان می‌کنیم: $$w=\frac{A}{l}$$. 📏
4. محیط را بر حسب طول بازنویسی می‌کنیم: $$P\left(l\right)=2l+\frac{2}{A}l$$. 🔄
5. مشتق محیط نسبت به طول را محاسبه می‌کنیم: $$\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dl}}=2+\frac{2}{A}$$. 📈
6. مشتق را برابر با صفر قرار می‌دهیم و طول را حل می‌کنیم: $$l=\sqrt{A}$$. 📏
7. عرض را محاسبه می‌کنیم: $$w=\frac{A}{\sqrt{A}}=\sqrt{A}$$. 📐
8. بنابراین، مستطیلی که کمترین محیط را دارد، یک مربع است! 🎉